\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\\\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}\\\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MB}\end{matrix}\right.\) 

Bạn xem lại nha, có thể đáp án A hoặc B sẽ có \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\)

Gọi G là giao điểm của AK, BM thì G là trọng tâm của tam giác.

Ta có = => =

= - = - = -

Theo quy tắc 3 điểm đối với tổng vec tơ:

= + => = - = (- ).

AK là trung tuyến thuộc cạnh BC nên

+ = 2 => - += 2

Từ đây ta có = + => = - - .

BM là trung tuyến thuộc đỉnh B nên

+ = 2 => - + = 2

=> = + .

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

\( \Rightarrow MN = \frac{{AB}}{2} = PB\) và MN // PB.

\( \Rightarrow \overrightarrow {PB}  = \overrightarrow {NM} \)

Ta có: \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC} \)

Lại có: \(\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AN} \) (do N là trung điểm của AC)

Vậy \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN} \)

a) Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Nên AM, BN, CP lần lượt là đường trung tuyến của BC, CA, AB.

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

Lời giải:

a)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}\)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}\)

\(\Rightarrow 2(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP})+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AN})\)

\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) (do các cặp tổng đều là vecto đối nhau)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=0\)

(đpcm)

b) Theo phần a:
\(\overrightarrow{AM}=-(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP})=-\overrightarrow{BN}+(-\overrightarrow{CP})\)

\(=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{PC}\) (đpcm)

a.

Do M là trung điểm OB \(\Rightarrow\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)

b.

Do N là trung điểm OC \(\Rightarrow\overrightarrow{ON}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}\)

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {PN} \) là hai vecto cùng hướng và \(\frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {PN} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AP}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AP}  + \overrightarrow {PN}  = \overrightarrow {AN} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {CA} \) là hai vecto cùng hướng và \(2\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|\)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {CA} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC}  + 2\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {BA} \)

Theo các xác định điểm M, N ta có:
\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.\)
Theo tính chất trung điểm của MN ta có:
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{PC}\)

\(=\dfrac{-1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CP}\)

=>\(2\cdot\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CP}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=-2\cdot\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{CP}\)

\(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}=-2\cdot\overrightarrow{CP}\)